Aslında bu paradoksla her gün karşılaşıyoruz, yalnızca bunun farkında değiliz. Belli ki Amerika'da uygulanan Scholastic Aptitude Test (SAT) sınavında da bu es geçilmişti. Çünkü bu paradoksla ilgili bir soru sorulduğunda soruyu hazırlayanlar bile cevabı yanlış verdiler!
Bir masanın üzerinde madenî bir parayı çevirmek istediğinizde bu çok sıradan gibi görünür; fakat para dönerken, sanki birdenbire iki farklı hızda dönüyormuş gibi görünür. İşte bu duruma biz "madenî para döndürme paradoksu" diyoruz. Gelin biraz detaylarına inelim, bakalım siz de yanlış cevap mı vereceksiniz?
Amerika'da üniversitelere giriş için yapılan SAT sınavında bu paradoks ele alınmış.
Bu sınav, Amerikan vatandaşları ve yabancı öğrenciler arasında geçerliliği olan uluslararası bir sınav. Adaylar; yazılı, sözlü ve matematiksel olarak değerlendirildikleri, çoktan seçmeli sorularla tasarlanan bir sınava tabi tutuluyorlar.
1982'deki bu sınavın bir matematik sorusu ise resmen tarihe geçti. Bu soru o kadar zordu ki hiçbir öğrenci doğru cevabı bulamamıştı. Hatta soruyu hazırlayanlar bile tam olarak soruyu çözemedi.
Soruyu merak edenleri duyar gibiyiz. Hemen gösterelim:
Şekilde A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının 1/3’ü kadardır. Şekilde gösterilen konumundan başlayarak A çemberi B çemberinin çevresinde yuvarlanmaya başlıyor ve sonrasında da başlangıç noktasına geri dönüyor. Bunun için A çemberinin toplamda kaç tur atması gerekir?
Her sınavda olduğu gibi bu sınavda da hız önemli.
Bu sorunun yanıtı başta size 3 gibi görünmüş olabilir; sonucunda B çemberinin yarıçapının A çemberinin yarıçapının 3 katı olduğundan yola çıkarsak B’nin çevresi de A’nın çevresinin 3 katı olacaktır.
Küçük çemberi açıp büyüğün çevresine sarma işlemi tam 3 kez gerçekleşirdi. Böyle baktığınızda cevap alenen 3 gibi dursa da maalesef siz de elendiniz!
İşin ilginç tarafı, diğer şıkların hepsi yanlıştı. Doğru cevap 4'tü ve bu, seçenekler arasında bile yer almıyordu.
Bu ilginç olay daha sonraları "madenî para paradoksu (coin rotation paradox)" olarak adlandırılmaya başlandı. Çünkü sorunun sonucu, sezgilere aykırı bir şekilde ortaya çıkması nedeniyle paradoksal bir durumu ifade ediyordu. Bu tür sınavlarda küçük ayrıntıların ne kadar önemli olabileceğini bir kez daha görüyoruz.
Soruyu biraz basitleştirirsek eğer...
Masanın üzerine iki tane aynı büyüklükteki madenî para koyun. Soldaki para ok yönünde ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde bir tam tur mu, yoksa yarım tur mu döner? Eğer denemeye üşendiyseniz cevap bir tam tur olacak. Yani para, başladığı noktaya geri dönmek için iki tam tur atmış olacak.
Eğer paranın yarıçapını r olarak kabul edersek paranın merkezinin aldığı yol 1/2×2πx2r=2πr olacaktır. Bu durumda, paranın merkezi etrafında bir tur tamamlaması için para kendi etrafında iki kez dönmelidir.
İki çemberin birbirinin etrafında dönüşü durumunda, hareket hâlindeki çemberin tur sayısını bulmak için çemberlerin çevrelerini oranlamalı ve sonuca 1 eklemelisiniz. SAT sorusunun hatası da buradan kaynaklanıyordu.
Bu durumda, sağdaki madenî para ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde ortadaki para kendi etrafında sadece bir tam tur atar. Yani saat yönünde döndürülen para, başlangıç noktasına geri dönmek için kendi etrafında sadece bir tur atmış olur. Bu, yapılan hesaplamalardan elde edilen sonuçtur ve paradoksu çözer.
Kaynaklar: Medium, Scientific AmericanDiğer matematik problemleri için: