Geometrinin milattan önce 350’li yıllarda Babiller tarafından bulunduğu tahmin ediliyor. En basit haliyle matematiğin biçimler üzerinden işlenmesi olarak tanımlayabileceğimiz geometrinin, kesin bilmiyoruz ama, ilk şekillerinden bir tanesinin çember olduğu düşünülüyor. Doğada da benzer şekillerle karşımıza çıkan çember işlemlerinde en önemli bilgi her zaman çemberin çevresi olmuştur.
Bazen bir bütünü kavramak, bazen çember içindeki bir alanı bulmak ya da bazen çok katmanlı bir işlemin en azından temelini oluşturmak için çemberin çevresini hesaplamak gerekir. Elbette tüm geometri işlemlerinde olduğu gibi burada da kolayca ezberleyip uygulayabileceğimiz bir formül var. Gelin çemberin çevresi nasıl hesaplanır, formülü nedir en sade şekliyle görelim.
Önce şeklimizi tanıyalım; Çember nedir?
Bir yüzeyde, hareketsiz bir noktaya pek çok farklı noktanın eşit uzaklıkta durarak oluşturduğu iki boyutlu şekil çember olarak adlandırılır. Hareketsiz yani sabit nokta çemberin merkezi olarak tanımlanır. Eşit uzaklıklar yarıçap olarak tanımlanırken yarıçapın iki katına çap denir.
Çemberin merkezi o, çemberin yarıçapı r, çemberin çapı R, çemberin çevresi ise Ç olarak gösterilmektedir. Yarıçapın ve onun iki katı olan çapın uzunlukları sabit kabul edilir. Çember üzerinde iki noktayı düz bir şekilde birleştiren bir doğru çizersek buna kiriş denir. Bir çemberdeki kiriş sayısı sonsuzdur. Merkezden bakıldığında birbirine simetrik görünen doğrunun uzunluğu ile çap birbirine eşit olarak kabul edilir, zaten çemberin çapı da en uzun kiriştir.
Bir de çemberin özelliklerine bakalım:
Çember parçası olarak da bilinen çember yayı, iki nokta arasında kalan parçadır.Çember içerisinde kalan ve kesen parça kiriştir.Çemberi iki eşit parçaya ayırmamızı sağlayan doğru çaptır.Çap, merkezden geçen kiriştir.Çember üzerindeki bir nokta ile merkezi birleştiren doğru yarıçaptır.Çap, yarıçapın iki katıdır.Çember; iç bölge, dış bölge ve kendisi olmak üzere üç bölgedir.Çemberin iç bölgesi ile kendisinin birleşmesi daire olarak adlandırılır.Çemberin açılarına da dikkat etmek gerekir:
Merkez açının köşesi, çemberin merkezidir. Çemberin üzerinde çevre açının köşesi bulunmaktadır. Çember merkezindeki açının kenarlarının çemberi kestiği noktalar arasına baktığımızda gördüğümüz yaylardan bir tanesi büyük çember yayı yani majördür. Diğeri ise küçük çember yayı yani minör olarak adlandırılır. Çevre yayları 0 ile 360 derece arasında olurken merkez açı 0 ile 180 derece arasındadır.
Gelelim çemberin çevresi hesaplama formülüne:
π = Ç / R = Ç / 2r
Ç = 2 . π . r
yani Çemberin Çevresi = 2 x pi sayısı x çemberin yarıçapı
Çemberin çevresi nasıl hesaplanır?
Çemberin merkezi = o
R yani çemberin çapı = [AB]
r yani çemberin yarıçapı = [AO] = [0B]
Sonuç olarak Ç = 2 . π . r
Çemberin çevresini hesaplarken 2 zaten sabit. Pi sayısı genel olarak 3 ya da 3,14 şeklinde alınır. r yani çemberin yarıçapı ise çoğu zaman çember şekli üzerinde görülen ya da kolayca bulunan bir değerdir. Bunları formüldeki doğru yerlere koyduğumuz zaman kolayca çemberin çevresinin kaç olduğunu bulabilirsiniz.
Çemberin çevresi formülünü kanıtlamak mümkün:
Çemberin çevresinin formülünün 2 . π . r olduğu kesin bir gerçek ancak bu bir inanç ya da ortak kabul değil, tam aksine matematikçiler tarafından defalarca denenerek kanıtlanmış bir eşitlik sistemidir. Eğer biraz vaktiniz varsa siz de bunu deneyerek görebilirsiniz.
Öncelikle çemberin içine dört tane eşkenar üçgen çizin. Taban uzunlukları toplamının çemberin çevresinden küçük olduğu görülecek. Bunları silin ve yerine sekiz tane eşkenar üçgen çizin. Taban uzunlukları toplamı yine çemberin çevresinden küçük olacaktır ama önceki duruma göre daha yakındır.
Şimdi işleri biraz büyütelim ve çemberin içerisinde kenar sayısının daha fazla olduğu bir düzgün çokgen çizelim. Evet, giderek çemberin çevresine yaklaşıyoruz ama ne yaparsak yapalım içerideki üçgenlerin kenar sayısının bir sonu olacağı için ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın çemberin çevresi ile eşit bir değer yakalayamıyoruz.
Çemberin içerisinde n kenarlı üçgenler dizmeye başladığımız zaman sin ( θ / 2 ) = ( L / 2 ) / r gibi bir durum çıkıyor. Bunu da L’Hospital kuralı ile lim n sin ( π / n ) haline getiriyoruz. Tabii öncesinde işlemler biraz karışık ama en sonunda görüyoruz ki Ç = 2 . π . r eşitliğinden başka bu işlemi toparlayacak bir sonuç çıkmıyor.
Geometrinin en önemli işlemlerinden bir tanesi olan çemberin çevresi nasıl hesaplanır sorusunu yanıtlayarak kolayca uygulayacağınız formülünü paylaştık. Konu çember olunca yarıçapını bulduktan sonra gerisi çorap söküğü gibi geliyor.